Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

  • Post author:
  • Post category:Разное

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент М х (рис. 1). Так как Q y =dM x /dz=0, то M x =const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент M х по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон .

Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Чистый изгиб. Поперечный изгибОртогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Чистый изгиб. Поперечный изгибОртогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Рис.2. Модель чистого изгиба

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: , выведем формулы для кривизны нейтрального слоя (—радиус кривизны) и нормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (M х =сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а ), нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.

Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

а ) расчетная схема, б ) деформации и напряжения

Рис.3.

Фрагмент чистого изгиба бруса

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz , который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б . Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

Из подобия треугольников С00 1 и 0 1 ВВ 1 следует, что

Продольная деформация оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох , от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы

Подставляя в это уравнение выражение (2)

и учитывая, что , получаем, что

Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:

Чистый изгиб. Поперечный изгибВторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной).

Чистый изгиб. Поперечный изгибВторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной).

Чистый изгиб. Поперечный изгибВторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной).

Рис.4. Распределение нормальных напряжений

которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента М х и нормальных напряжений в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при M х >0 нормальные напряжения при y >0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.

Чистый изгиб. Поперечный изгибкоторая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента М х и нормальных напряжений в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при M х >0 нормальные напряжения при y >0 оказываются сжимающими.

Чистый изгиб. Поперечный изгибЗдесь введена геометрическая характеристика , имеющая размерность м 3 и получившая название момента сопротивления при изгибе. Поскольку при заданном M х напряжения max ? тем меньше, чем больше W x , момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения изгибе.

Изгиб — вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, называется косым .

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб . Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб .

Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом.

См. также

Ссылки

  • Расчётные данные для типовых балок постоянного сечения

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Изгиб (механика)» в других словарях:

    У этого термина существуют и другие значения, см. Стержень. Стержень тело удлиненной формы, два размера которого (высота и ширина) малы по сравнению с третьим размером (длиной) В таком же значении иногда используют термин «брус», а… … Википедия

    осесимметричный изгиб круглой пластинки — Деформированное состояние осесимметричной круглой пластинки, при котором срединная плоскость переходит в поверхность вращения. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической… …

    цилиндрический изгиб пластинки — Деформированное состояние пластинки, при котором срединная плоскость переходит в цилиндрическую поверхность. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1970 г.]… … Справочник технического переводчика

    Плита пластина, нагруженная перпендикулярно её плоскости и работающая преимущественно на изгиб из собственной плоскости. Плоскость, которая делит толщину пластины пополам, называется срединной плоскостью плиты. Поверхность, в которую… … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. Брус. Брус (в механике материалов и конструкций) модель тела, у которого один из размеров гораздо больше двух других. При расчётах брус заменяют его продольной осью. В строительной механике… … Википедия

    косой изгиб — Деформация бруса, при которой силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных центральных осей его поперечного сечения. Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN asymmetric bending … Справочник технического переводчика

    плоский изгиб — Деформация бруса, при которой все нагрузки приложены в одной плоскости, называемой силовой. Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN flat bending … Справочник технического переводчика

    прямой изгиб — Деформация бруса, при которой линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения совпадает с одной из его главных центральных осей. Тематики строительная механика, сопротивление… … Справочник технического переводчика

    РОДЫ — РОДЫ. Содержание: I. Определение понятия. Изменения в организме во время Р. Причины наступления Р………………… 109 II. Клиническое течение физиологических Р. . 132 Ш. Механика Р. …………….. 152 IV. Ведение Р……………… 169 V … Большая медицинская энциклопедия

    Механик Императорской Академии Наук, член Императорского Вольного экономического общества. Сын мещанина Нижнего Новгорода, род. в Нижнем Новгороде 10 апреля 1735 г., ум. там же 30 июля 1818 г. Кулибин предназначался отцом торговать мукой, но он с … Большая биографическая энциклопедия

Книги

  • Техническая механика (сопротивление материалов). Учебник для СПО , Ахметзянов М.Х.. Книга охватывает основные вопросы прочности, жесткости и устойчивости стержня при статических и динамических воздействиях. Рассмотрены простые (растяжение-сжатие, сдвиг, плоский изгиб и…

Гипотезу плоских сечений при изгибе можно объяснить на примере: нанесем на боковой поверхности недеформированной балки сетку, состоящую из продольных и поперечных (перпендикулярных к оси) прямых линий. В результате изгиба балки продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные практически останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси балки.

Формулировка гипотезы плоских сечения : поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до , остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации.

Это обстоятельство свидетельствует: при выполняется гипотеза плоских сечений , как при и

Помимо гипотезы плоских сечений принимается допущение : продольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга.

Гипотезу плоских сечений и допущение называют гипотезой Бернулли .

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, испытывающую чистый изгиб (). Выделим элемент балки длиной (рис. 7.8. а). В результате изгиба поперечные сечения балки повернутся, образовав угол . Верхние волокна испытывают сжатие, а нижние растяжение. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим .

Условно считаем, что волокна изменяют свою длину, оставаясь при этом прямыми (рис. 7.8. б). Тогда абсолютное и относительное удлинения волокна, отстоящего на расстоянии y от нейтрального волокна:

Покажем, что продольные волокна, не испытывающие при изгибе балки ни растяжения, ни сжатия, проходят через главную центральную ось x.

Поскольку длина балки при изгибе не изменяется, продольное усилие (N), возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие .

Чистый изгиб. Поперечный изгибПоскольку длина балки при изгибе не изменяется, продольное усилие (N), возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие .

Чистый изгиб. Поперечный изгибПоскольку длина балки при изгибе не изменяется, продольное усилие (N), возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие .

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Выражение представляет поперечного сечения балки относительно нейтральной оси x. Он равен нулю, когда нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения. Следовательно, нейтральная ось (нулевая линия) при изгибе балки проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Очевидно: изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, возникающими в точках поперечного сечения стержня. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой :

где – осевой момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси x, а отношение — кривизна оси балки.

Жесткость балки при изгибе (чем больше, тем меньше радиус кривизны ).

Чистый изгиб. Поперечный изгибПолученная формула представляет собой закон Гука при изгибе для стержня : изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении, пропорционален кривизне оси балки.

Чистый изгиб. Поперечный изгибВыражая из формулы закона Гука для стержня при изгибе радиус кривизны () и подставляя его значение в формулу , получим формулу для нормальных напряжений () в произвольной точке поперечного сечения балки, отстоящей на расстоянии y от нейтральной оси x : .

В формулу для нормальных напряжений () в произвольной точке поперечного сечения балки следует подставлять абсолютные значения изгибающего момента () и расстояния от точки до нейтральной оси (координаты y). Будет ли напряжение в данной точке растягивающим или сжимающим легко установить по характеру деформации балки или по эпюре изгибающих моментов, ординаты которой откладываются со стороны сжатых волокон балки.

Из формулы видно: нормальные напряжения () изменяются по высоте поперечного сечения балки по линейному закону. На рис. 7.8, в показана эпюра . Наибольшие напряжения при изгибе балки возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Если в поперечном сечении балки провести линию, параллельную нейтральной оси x, то во всех ее точках возникают одинаковые нормальные напряжения.

Несложный анализ эпюры нормальных напряжений показывает, при изгибе балки материал, расположенный вблизи нейтральной оси, практически не работает. Поэтому в целях снижения веса балки рекомендуется выбирать такие формы поперечного сечения, у которых большая часть материала удалена от нейтральной оси, как, например, у двутаврового профиля.

Глава 1. ИЗГИБ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК И БАЛОЧНЫХ СИСТЕМ

1.1. Основные зависимости теории изгиба балок

Балками принято называть стержни, работающие на изгиб под действием поперечной (нормальной к оси стержня) нагрузки. Балки – наиболее распространенные элементы судовых конструкций. Ось балки – геометрическое место центров тяжести ее поперечных сечений в недеформированном состоянии. Балка называется прямой, если осью является прямая линия. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений балки в изогнутом состоянии называется упругой линией балки. Принято следующее направление осей координат: ось OX совмещена с осью балки, а оси OY и OZ – с главными центральными осями инерции поперечного сечения (рис. 1.1).

Теория изгиба балок основывается на следующих допущениях.

1. Принимается гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения балки, первоначально плоские и нормальные к оси балки, остаются после ее изгиба плоскими и нормальными к упругой линии балки. Благодаря этому деформацию изгиба балки можно рассматривать независимо от деформации сдвига, которая вызывает искажение плоскостей поперечных сечений балки и их поворот относительно упругой линии (рис. 1.2, а ).

2. Нормальными напряжениями в площадках, параллельных оси балки, пренебрегают из-заих малости (рис. 1.2, б ).

3. Балки считаются достаточно жесткими, т.е. прогибы их малы по сравнению с высотой балок, а углы поворота сечений малы по сравнению с единицей (рис.1.2, в ).

4. Напряжения и деформации связаны линейной зависимостью, т.е. справедлив закон Гука (рис. 1.2, г ).

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Рис. 1.2. Допущения теории изгиба балок

Будем рассматривать появляющиеся при изгибе балки в ее сечении изгибающие моменты и перерезывающие силы как результат действия мысленно отбрасываемой по сечению части балки на оставшуюся ее часть.

Момент всех действующих в сечении усилий относительно однойиз главных осей называется изгибающим моментом. Изгибающий момент равен сумме моментов всех сил (включая опорные реакции и моменты), действующих на отброшенную часть балки, относительно указанной оси рассматриваемого сечения.

Проекция на плоскость сечения главного вектора усилий, действующих в сечении, называется перерезывающей силой. Она равна сумме проекций наплоскость сечения всех сил (включая опорные реакции), действующих на отброшенную часть балки .

Ограничимся рассмотрением изгиба балки, происходящего в плоскости XOZ . Такой изгиб будет иметь место в случае, когда поперечная нагрузка действует в плоскости, параллельной плоскости XOZ , а ее равнодействующая в каждом сечении проходит через точку, называемую центром изгиба сечения. Заметим, что для сечений балок,имеющих две осисимметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести, а для сечений, имеющих одну ось симметрии, он лежит на осисимметрии, но не совпадает с центром тяжести.

Нагрузка входящих в состав судового корпуса балок может быть либо распределенной (чаще всего равномерно распределенной вдоль оси балки, или изменяющейся по линейному закону), либо приложенной в виде сосредоточенных сил и моментов.

Обозначим интенсивность распределенной нагрузки (нагрузку, приходящуюся на единицу длины оси балки) через q (x ), внешнюю сосредоточенную силу – как Р , а внешний изгибающий момент – как М . Распределенная нагрузка и сосредоточенная сила положительны, если направления их действия совпадают с положительным направлением оси OZ (рис. 1.3,а ,б ). Внешний изгибающий момент положителен, если он направлен по часовой стрелке (рис.1.3,в ).

Чистый изгиб. Поперечный изгибОбозначим интенсивность распределенной нагрузки (нагрузку, приходящуюся на единицу длины оси балки) через q (x ), внешнюю сосредоточенную силу – как Р , а внешний изгибающий момент – как М .

Рис. 1.3. Правило знаков для внешних нагрузок

Обозначим прогиб прямой балки при ее изгибе в плоскости XOZ через w , а угол поворота сечения – через θ. Примем правило знаков для элементов изгиба (рис. 1.4):

1) прогиб положителен, если он совпадает с положительным направлением оси OZ (рис. 1.4, а ):

2) угол поворота сечения положителен, если в результате изгиба сечение поворачивается по часовой стрелке (рис. 1.4, б );

3) изгибающие моменты положительны, если балка под их воздействием изгибается выпуклостью вверх (рис. 1.4, в );

4) перерезывающие силы положительны, если они поворачивают выделенный элемент балки против часовой стрелки (рис. 1.4, г ).

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Рис. 1.4. Правило знаков для элементов изгиба

На основании гипотезы плоских сечений можно видеть (рис. 1.5), что относительное удлинение волокна ε x , отстоящего на z от нейтральной оси, будет равно

ε x = −z /ρ ,(1.1)

где ρ – радиус кривизны балки в рассматриваемом сечении.

Рис. 1.5. Схема изгиба балки

Нейтральной осью поперечного сечения называется геометрическое место точек, для которых линейная деформация при изгибе равна нулю. Между кривизной и производными от w (x ) существует зависимость

Чистый изгиб. Поперечный изгибНейтральной осью поперечного сечения называется геометрическое место точек, для которых линейная деформация при изгибе равна нулю.

В силу принятого допущения о малости углов поворота для достаточно жестких балок величина мала по сравнению с единицей , поэтому можно считать, что

Подставив 1/ρ из (1.2) в (1.1), получим

Нормальные напряжения от изгиба σ x на основании закона Гука будут равны

Поскольку из определения балок следует, что продольное усилие, направленное вдоль оси балки, отсутствует, главный вектор нормальных напряжений должен обращаться в нуль, т.е.

где F – площадь поперечного сечения балки.

Из (1.5) получим, что статический момент площади сечения балки равен нулю. Это значит, что нейтральная ось сечения проходит через его центр тяжести.

Момент внутренних усилий, действующих в поперечном сечении относительно нейтральной оси, M y будет

Если учесть, что момент инерции площади сечения относительно нейтральной оси OY равен , и подставить это значение в (1.6), то получим зависимость, которая выражает основное дифференциальное уравнение изгиба балки

Момент внутреннихусилий в сечении относительно оси OZ будет

Отсюда следует, что при действии нагрузки в плоскости, параллельной главной плоскости изгиба, упругая линия балки будет плоской кривой. Такой изгиб называется плоским . На основании зависимостей (1.4) и (1.7) получим

Формула (1.8) показывает, что нормальные напряжения при изгибе балок пропорциональны отстоянию от нейтральной оси балки. Естественно, что это вытекаетиз гипотезы плоских сечений. В практических расчетах для определения наибольших нормальных напряжений часто используют момент сопротивления сечения балки

где |z | max – абсолютное значение отстояния наиболее удаленного волокна от нейтральной оси.

В дальнейшем нижние индексы y для упрощения опущены.

Между изгибающим моментом, перерезывающей силой и интенсивностью поперечной нагрузки существует связь, вытекающая из условия равновесия элемента, мысленно выделенного из балки.

Рассмотрим элемент балки длиной dx (рис. 1.6). Здесь принимается, что деформации элемента пренебрежимо малы.

Чистый изгиб. Поперечный изгибЕсли в левом сечении элемента действует момент M и перерезывающая сила N , то в правом его сечении соответствующие усилия будут иметь приращения.

Чистый изгиб. Поперечный изгибЕсли в левом сечении элемента действует момент M и перерезывающая сила N , то в правом его сечении соответствующие усилия будут иметь приращения.

Рис.1.6. Усилия, действующие на элемент балки

Приравняв нулю проекцию на ось OZ всех усилий, действующих на элемент, и момент всех усилий относительно нейтральной оси правого сечения, получим:

Из этих уравнений с точностью до величин высшего порядка малости получим

Из (1.11) и (1.12) следует, что

Зависимости (1.11)–(1.13) известны под названием теоремы Журавского–Шведлера .Из этих зависимостей следует, что перерезывающая сила и изгибающий момент могут быть определены путем интегрирования нагрузки q :

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

где N 0 и M 0 – перерезывающая сила и изгибающий момент в сечении, соответствующем x = x 0 , которое принимается за начало отсчета; ξ, ξ 1 – переменные интегрирования .

Постоянные N 0 и M 0 для статически определимых балок могут быть определены из условий их статического равновесия.

Если балка статически определимая, изгибающий момент влюбом сечении может быть найден по (1.14), и упругая линия определяется путем двукратного интегрирования дифференциального уравнения (1.7). Однако в конструкциях судового корпуса статически определимые балки встречаются крайне редко. Большинство балок, входящих в состав судовых конструкций, образует многократно статически неопределимые системы. В этих случаях для определения упругой линии уравнение (1.7) является неудобным, и целесообразно перейти к уравнению четвертого порядка.

1.2. Дифференциальное уравнение изгиба балок

Дифференцируя уравнение (1.7) для общего случая, когда момент инерции сечения является функцией от x , с учетом (1.11) и (1.12) получим:

Чистый изгиб. Поперечный изгибЕсли балка статически определимая, изгибающий момент влюбом сечении может быть найден по (1.14), и упругая линия определяется путем двукратного интегрирования дифференциального уравнения (1.

где штрихами обозначено дифференцирование по x .

Для призматических балок, т.е. балок постоянного сечения, получим следующие дифференциальные уравнения изгиба:

Чистый изгиб. Поперечный изгибЕсли балка статически определимая, изгибающий момент влюбом сечении может быть найден по (1.14), и упругая линия определяется путем двукратного интегрирования дифференциального уравнения (1.

Обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка (1.18) можно представить в виде совокупности четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

Используем далееу равнение (1.18) или систему уравнений (1.19) для определения прогиба балки (ее упругой линии) и всех неизвестных элементов изгиба: w (x ), θ (x ), M (x ), N (x ).

Интегрируя (1.18) последовательно 4 раза (считая, чтолевому концу балки соответствует сечение x = x a ), получим:

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Нетрудно видеть, что постоянные интегрирования N a , M a , θ a , w a имеют определенный физический смысл, а именно:

N a – перерезывающая сила в начале отсчета, т.е. при x = x a ;

M a – изгибающий момент в начале отсчета;

θ a – угол поворота в начале отсчета;

w a – прогиб в этом же сечении.

Для определения указанных постоянных всегда можно составить четыре граничных условия – по два для каждого конца однопролетной балки. Естественно, что граничные условия зависят от устройства концов балки. Простейшие условия соответствуют шарнирному опиранию на жесткие опоры или жесткой заделке.

При шарнирном опирании конца балки на жесткой опоре (рис. 1.7, а ) прогиб балки и изгибающий момент равны нулю:

При жесткой заделке на жесткой опоре (рис. 1.7, б ) равны нулю прогиб и угол поворота сечения:

Если конец балки (консоль) свободен (рис. 1.7, в ), то в этом сечении равны нулю изгибающий момент и перерезывающая сила:

Возможна ситуация, связанная со скользящей заделкой или заделкой по симметрии (рис. 1.7, г ). Это приводит к таким граничным условиям:

Заметим, что граничные условия (1.26), касающиеся прогибов и углов поворота, принято называть кинематическими , а условия (1.27) – силовыми .

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Рис. 1.7. Виды граничных условий

В судовых конструкциях часто приходится иметь дело с более сложными граничными условиями, которые соответствуют опиранию балки на упругие опоры или упругой заделке концов.

Упругой опорой (рис. 1.8, а ) называется опора,имеющая просадку, пропорциональную действующей на опору реакции. Будем считать реакцию упругой опоры R положительной, если она действует на опору в сторону положительного направления оси OZ . Тогда можно записать:

w = AR ,(1.29)

где A – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом податливости упругой опоры.

Этот коэффициент равен просадке упругой опоры при действии реакции R = 1, т.е. A = w R = 1 .

Упругими опорами в судовых конструкциях могут быть балки, подкрепляющиерассматриваемую балку, или пиллерсы и другие конструкции, работающие на сжатие.

Для определения коэффициента податливости упругой опоры A необходимо загрузить соответствующую конструкцию единичной силой и найти абсолютную величину просадки (прогиб) в месте приложения силы. Жесткая опора – частный случай упругой опоры при A = 0.

Упругой заделкой (рис. 1.8, б ) называется такая опорная конструкция, которая препятствует свободному повороту сечения и в которой угол поворота θ в этом сечении пропорционален моменту, т.е. имеетместо зависимость

θ =Â M .(1.30)

Множитель пропорциональности Â называется коэффициентом податливости упругой заделки и может быть определен, как угол поворота упругой заделки при M = 1, т.е. Â = θ M = 1 .

Частным случаем упругой заделки при Â = 0 является жесткая заделка. В судовых конструкциях упругими заделками обычно являются балки, нормальные к рассматриваемой и лежащие в этой же плоскости. Например, упруго заделанными на шпангоутах можно считать бимсы и т.п.

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Рис. 1.8. Упругая опора (а ) и упругая заделка (б )

Если концы балки длиной L оперты на упругие опоры (рис. 1.9), то реакции опор в концевых сечениях равны перерезывающим силам, и граничные условия можно записать:

Знак минус в первом условии (1.31) принят потому, что положительная перерезывающая сила в левом опорном сечении соответствует реакции, действующей на балку сверху вниз, а на опору – снизу вверх.

Если концы балки длиной L упругозаделанные (рис. 1.9), то для опорных сечений, учитывая правило знаков для углов поворота и изгибающих моментов, можно записать:

Знак минус во втором условии (1.32) принят потому, что при положительном моменте в правом опорном сечении балки момент, действующий на упругую заделку, направлен против часовой стрелки, а положительный угол поворота в этом сечении направлен по часовой стрелке, т.е. направления момента и угла поворота не совпадают.

Рассмотрение дифференциального уравнения (1.18) и всех граничных условий показывает, что они линейны относительно как входящих в них прогибов и их производных, так и действующих на балку нагрузок. Линейность является следствием допущений о справедливости закона Гука и малости прогибов балки.

Чистый изгиб. Поперечный изгибРассмотрение дифференциального уравнения (1.18) и всех граничных условий показывает, что они линейны относительно как входящих в них прогибов и их производных, так и действующих на балку нагрузок.

Рис. 1.9. Балка, оба конца которой упруго оперты и упруго заделаны (а );

усилия в упругих опорах и упругих заделках, соответствующие положительным
направлениям изгибающего момента и перерезывающей силы (б )

При действии на балку нескольких нагрузок каждый элемент изгиба балки (прогиб, угол поворота, момент и перерезывающая сила) представляет собой сумму элементов изгиба от действия каждой из нагрузок в отдельности. Это очень важное положение, называемое принципом наложения, или принципом суммирования действия нагрузок, широко используется в практических расчетах и, в частности, для раскрытия статической неопределимости балок.

1.3. Метод начальных параметров

Общий интеграл дифференциального уравнения изгиба балки может быть использован для определения упругой линии однопролетной балки в том случае, когда нагрузка балки представляет собой непрерывную функцию координаты на протяжении всего пролета. Если в составе нагрузки встречаются сосредоточенные силы, моменты или распределенная нагрузка действует на части длины балки (рис. 1.10), то непосредственно использовать выражение (1.24) нельзя. В этом случае можно было бы, обозначив упругие линии на участках 1, 2 и 3 через w 1 , w 2 , w 3 , выписать для каждойиз них интеграл в виде (1.24) и найти все произвольные постоянные из граничных условий на концах балки и условий сопряжения на границах участков. Условия сопряжения в рассматриваемом случае выражаются так:

при x=a 1

при x=a 2

при x=a 3

Нетрудно заметить, что такой путь решения задачи приводит к большому числу произвольных постоянных, равному 4n , где n – число участков по длине балки.

Чистый изгиб. Поперечный изгибНетрудно заметить, что такой путь решения задачи приводит к большому числу произвольных постоянных, равному 4n , где n – число участков по длине балки.

Рис. 1.10. Балка, на отдельных участках которой приложены нагрузки разных типов

Значительно удобнее представить упругую линию балки в виде

где члены за двойной чертой учитываются при x ³ a 1, x ³ a 2 и т.д.

Очевидно, что δ 1 w (x )=w 2 (x )−w 1 (x ); δ 2 w (x )=w 3 (x )−w 2 (x ); и т.д.

Дифференциальные уравнения для определения поправок к упругой линии δ i w (x ) на основании (1.18) и (1.32) можно записать в виде

Общий интеграл для любой поправки δ i w (x ) к упругой линии может быть записан в виде (1.24) при x a = a i . При этом параметры N a , M a , θ a , w a имеют смысл изменения (скачка) соответственно: в перерезывающей силе, изгибающем моменте, угле поворота и стрелке прогиба при переходе через сечение x = a i . Такой прием называется методом начальных параметров. Можно показать, чтодля балки, приведенной на рис. 1.10, уравнение упругой линии будет

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Таким образом, метод начальных параметров дает возможность и при наличии разрывности в нагрузках записать уравнение упругой линии в виде, содержащем лишь четыре произвольных постоянных N 0 , M 0 , θ 0 , w 0 , которые определяются из граничных условий по концам балки.

Заметим, что для большого числа вариантов встречающихся на практике однопролетных балок составлены подробные таблицы изгиба, которые позволяют легко найти прогибы, углы поворота и другие элементы изгиба.

1.4. Определение касательных напряжений при изгибе балок

Принятая в теории изгиба балок гипотеза плоских сечений приводит к тому, что деформация сдвига в сечении балки оказывается равной нулю, и мы неимеем возможности, используя закон Гука, определить касательные напряжения. Однако поскольку в общем случае в сечениях балки действуют перерезывающие силы, то должны возникать соответствующие им касательные напряжения. Это противоречие (которое является следствием принятой гипотезы плоских сечений) можно обойти, рассматривая условия равновесия. Будем считать, что при изгибе балки, составленной из тонких полос, касательные напряжения в поперечном сечении каждой из этих полос равномерно распределены по толщине и направлены параллельно длинным сторонам ее контура. Это положение практически подтверждается точными решениями теории упругости. Рассмотрим балку открытого тонкостенного двутаврового профиля. На рис. 1.11 показано положительное направление касательных напряжений в поясках и стенке профиля при изгибе в плоскости стенки балки. Выделим продольным сечением I — I и двумя поперечными сечениями элемент длиной dx (рис. 1.12).

Чистый изгиб. Поперечный изгибПринятая в теории изгиба балок гипотеза плоских сечений приводит к тому, что деформация сдвига в сечении балки оказывается равной нулю, и мы неимеем возможности, используя закон Гука, определить касательные напряжения.

Обозначим касательное напряжение в указанном продольном сечении через τ, а нормальные усилия в начальном поперечном сечении через T . Нормальные усилия в конечном сечении будут иметь приращения. Рассмотрим только линейные приращения, тогда .

Чистый изгиб. Поперечный изгибОбозначим касательное напряжение в указанном продольном сечении через τ, а нормальные усилия в начальном поперечном сечении через T .

Рис. 1.12. Продольные усилия и касательные напряжения
в элементе пояска балки

Условие статического равновесия выделенногоиз балки элемента (равенство нулю проекций усилий на ось OX ) будет

где ; f – площадь части профиля, отсеченного линией I – I ; δ– толщина профиля в месте сечения.

Из (1.36) следует:

Поскольку нормальные напряжения σ x определяются формулой (1.8), то

Чистый изгиб. Поперечный изгибОбозначим касательное напряжение в указанном продольном сечении через τ, а нормальные усилия в начальном поперечном сечении через T .

При этом мы полагаем, что балка имеет постоянное по длине сечение. Статический момент части профиля (отсеченной линией I – I ) относительно нейтральной оси сечения балки OY является интегралом

Тогда из (1.37) для абсолютной величины напряжений получим:

Естественно, что полученная формула для определения касательных напряжений справедлива и для любого продольного сечения, например II – II (см. рис. 1.11), и статический момент S отс вычисляется для отсеченной части площади профиля балки относительно нейтральной оси без учета знака.

Формула (1.38) по смыслу проведенного вывода определяет касательные напряжения в продольных сечениях балки. Из теоремы о парности касательных напряжений, известной из курса сопротивления материалов, следует, что такие же касательные напряжения действуют в соответствующих точках поперечного сечения балки. Естественно, что проекция главного вектора касательных напряжений на ось OZ должна быть равна перерезывающей силе N в данном сечении балки. Поскольку в поясках балки такого типа, как показано на рис. 1.11, касательные напряжения направлены по оси OY , т.е. нормально к плоскости действия нагрузки, и являются в целом уравновешенными, перерезывающая сила должна уравновешиваться касательными напряжениями в стенке балки. Распределение касательных напряжений по высоте стенки следует закону изменения статического момента S отс отсеченной части площади относительно нейтральной оси (при постоянной толщине стенки δ ).

Рассмотрим симметричное сечение двутавровой балки с площадью пояска F 1 и площадью стенки ω = (рис. 1.13).

Чистый изгиб. Поперечный изгибФормула (1.38) по смыслу проведенного вывода определяет касательные напряжения в продольных сечениях балки. Из теоремы о парности касательных напряжений, известной из курса сопротивления материалов, следует, что такие же касательные напряжения действуют в соответствующих точках поперечного сечения балки.

Рис. 1.13. Сечение двутавровой балки

Статический момент отсеченной части площади для точки, отстоящей на z от нейтральной оси, будет

Как видно из зависимости (1.39), статическиймомент изменяется с z по закону квадратичной параболы. Наибольшее значение S отс , а следовательно, и касательных напряжений τ, получится у нейтральной оси, где z = 0:

Наибольшее касательное напряжениев стенке балки у нейтральной оси

Поскольку момент инерции сечения рассматриваемой балки равен

то наибольшее касательное напряжение будет

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Отношение N /ω есть не что иное, как среднее касательное напряжение в стенке, вычисленное в предположенииравномерного распределения напряжений. Принимая, например, ω = 2F 1 , по формуле (1.41) получим

Чистый изгиб. Поперечный изгибОтношение N /ω есть не что иное, как среднее касательное напряжение в стенке, вычисленное в предположенииравномерного распределения напряжений.

Таким образом, у рассматриваемой балки наибольшее касательное напряжение в стенке у нейтральной оси лишь на 12,5% превышает среднее значение этих напряжений. Следует отметить, что у большинства профилей балок, применяемых в судовом корпусе, превышение максимальных касательных напряжений над средними составляет 10–15%.

Если рассмотреть распределение касательных напряжений при изгибе в сечении балки, показанной на рис. 1.14, то можно видеть, что они образуют момент относительно центра тяжести сечения. В общем случае изгиб такой балки в плоскости XOZ будет сопровождаться закручиванием.

Изгиб балки не сопровождается закручиванием, если нагрузка будет действовать в плоскости, параллельной XOZ , проходящей через точку, называемую центром изгиба. Эта точка характеризуетсятем, что момент всех касательных усилий в сечении балки относительно нее равен нулю.

Чистый изгиб. Поперечный изгибИзгиб балки не сопровождается закручиванием, если нагрузка будет действовать в плоскости, параллельной XOZ , проходящей через точку, называемую центром изгиба.

Рис. 1.14. Касательные напряжения при изгибе швеллерной балки (точка А – центр изгиба)

Обозначив отстояние центра изгиба А от оси стенки балки через е , запишем условие равенства нулю моментакасательных усилий относительно точки А :

где Q 2 – касательное усилие в стенке, равное перерезывающей силе, т.е. Q 2 =N ;

Q 1 =Q 3 – усилие в пояске, определяемое на основании (1.38) зависимостью

Деформация сдвига (или угол сдвига) γ изменяется по высоте стенки балки так же, как и касательные напряжения τ, достигая наибольшей величины у нейтральной оси.

Как было показано, у балок с поясками изменение касательных напряжений по высоте стенки весьма незначительно. Это позволяет в дальнейшем рассматривать некоторый средний угол сдвига в стенке балки

Деформация сдвига приводит к тому, что прямой угол между плоскостью поперечного сечения балки и касательной к упругой линии изменяется на величину γ ср . Упрощенная схема деформации сдвига элемента балки показана на рис. 1.15.

Чистый изгиб. Поперечный изгибДеформация сдвига приводит к тому, что прямой угол между плоскостью поперечного сечения балки и касательной к упругой линии изменяется на величину γ ср .

Рис. 1.15. Схема деформации сдвига элемента балки

Обозначив стрелку прогиба, вызванную сдвигом через w сдв , можно записать:

Чистый изгиб. Поперечный изгибДеформация сдвига приводит к тому, что прямой угол между плоскостью поперечного сечения балки и касательной к упругой линии изменяется на величину γ ср .

С учетом правила знаков для перерезывающей силы N и угла поворота найдем

Поскольку ,

Интегрируя (1.47), получим

Постоянная a , входящая в (1.48), определяет перемещение балки как твердого тела и может быть принята равной любой величине, так как при определении суммарной стрелки прогиба от изгиба w изг и сдвига w сдв

появится сумма постоянных интегрирования w 0 +a , определяемая из граничных условий. Здесь w 0 – прогиб от изгиба в начале координат.

Положим в дальнейшем a =0. Тогда окончательно выражение для упругой линии, вызванной сдвигом, примет вид

Изгибная и сдвиговая составляющие упругой линии показаны на рис. 1.16.

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Рис. 1.16. Изгибная (а ) и сдвиговая (б ) составляющие упругой линии балки

В рассмотренном случае угол поворота сечений при сдвиге равен нулю, поэтому и с учетом сдвига углы поворота сечений, изгибающие моменты и перерезывающие силы связаны только с производными упругой линии от изгиба:

Несколько иначе обстоит дело в случае действия на балку сосредоточенных моментов, которые, как будет показано ниже, не вызывают прогибов от сдвига, а приводят лишь к дополнительному повороту сечений балки.

Рассмотрим свободно опертую на жесткие опоры балку, в левом сечении которой действует момент М . Перерезывающая сила в этом случае будет постоянной и равной

Для правого опорного сечения соответственно получим

.(1.52)

Выражения (1.51)и (1.52) можно переписать в виде

Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Выражения в круглых скобках характеризуют относительную добавку к углу поворота сечения, вызванную сдвигом.

Если рассмотреть, например, свободно опертую балку, загруженную посередине ее пролета силой Р (рис. 1.18), то прогиб балки под силой будет равен

Рис. 1.18. Схема свободно опертой балки, загруженной сосредоточенной силой

Как видно из формулы (1.55), относительная добавка к прогибу балки за счет сдвига имеет такую же структуру, что и относительная добавка к углу поворота, но с другим численным коэффициентом.

Введем обозначение

где β – численный коэффициент, зависящий от рассматриваемой конкретной задачи, устройства опор и нагрузки балки.

Проанализируем зависимость коэффициента k от различных факторов.

Если учесть, что , получим вместо (1.56)

Момент инерции сечения балки всегда может быть представлен в виде

,(1.58)

где α – численный коэффициент, зависящий от формы и характеристик поперечного сечения. Так, для балки двутаврового профиля по формуле (1.40) при ω =2F 1 найдем I = ωh 2 /3, т.е. α =1/3.

Заметим, что с ростом размеров поясков балки коэффициент α будет увеличиваться.

С учетом (1.58) вместо (1.57) можно записать:

Таким образом, значение коэффициента k существенно зависит от отношения длины пролета балки к ее высоте, от формы сечения (через коэффициент α ), устройства опор и нагрузки балки (через коэффициент β ). Чем относительно длиннее балка (h / L мало), тем меньше влияние деформации сдвига. Для балок прокатного профиля, имеющих отношение h / L меньше 1/10÷1/8, поправка на сдвиг практически может не учитываться.

Однако для балок с широкими поясками, таких, например, как киль, стрингеры и флоры в составе днищевых перекрытий влияние сдвига и при указанных h / L может оказаться значительным.

Следует отметить, что деформации сдвига оказывают влияние не только на увеличение прогибов балок, но в некоторых случаях и на результаты раскрытия статической неопределимости балок и балочных систем.